Phân tích phương sai (ANOVA)

Bài viết này sẽ liên quan đến việc áp dụng phân tích phương sai cho vấn đề quan trọng và thường gặp phải trong việc xác định tầm quan trọng của sự khác biệt giữa các phương tiện.

Phương sai, theo cách hiểu thông thường, là thước đo độ phân tán của một tập hợp điểm số. Nó mô tả mức độ mà các điểm khác nhau. Nó được định nghĩa là giá trị trung bình của độ lệch bình phương của điểm số riêng được lấy từ giá trị trung bình.

trong đó x = X - M hoặc độ lệch của điểm so với giá trị trung bình, nghĩa là phương sai = bình phương của SD

hoặc, phương sai = σ 2 nên σ =

Một thước đo phương sai cho chúng ta một số ý tưởng về tính đồng nhất của nhóm. Phương sai của tập hợp điểm sẽ ít hơn khi nhóm đồng nhất về thành tích. Mặt khác, phương sai của tập hợp điểm sẽ nhiều hơn, nếu nhóm không đồng nhất về thành tích.

Phân tích phương sai là một thiết bị rất hữu ích để phân tích kết quả của các yêu cầu khoa học, nghiên cứu về khoa học xã hội và vật lý. Để có được câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu trong các nghiên cứu thực nghiệm hoặc để kiểm tra các giả thuyết, phương sai được phân tích thành các thành phần và phương sai khác nhau từ các nguồn khác nhau được so sánh. Trong nghiên cứu, chúng tôi đi qua với thiết kế thử nghiệm khác nhau và chúng tôi đưa ra các giả thuyết không.

Chúng tôi sử dụng kỹ thuật phân tích các biến số của phương sai (ANOVA hoặc ANOVAR) để nghiên cứu xem tỷ lệ phương sai (F) có đáng kể hay không, và dựa trên giả thuyết null được chấp nhận hoặc từ chối.

Khái niệm phương sai và ANOVA được làm rõ thông qua một ví dụ.

Ví dụ 1:

Tính phương sai của phân bố điểm sau 4, 6, 3, 7, 5.

Ở đây, biểu thức Zx 2 được gọi là Sum Sum của bình phương độ lệch của điểm số so với trung bình (trong SS ngắn). Khi SS được chia cho tổng số điểm (N), chúng ta sẽ nhận được Nghĩa trung bình vuông hoặc MS. Do đó phương sai cũng được gọi là bình phương trung bình. Tượng trưng

V = MS hoặc V = SS / N

Một phương sai trong thuật ngữ của ANOVA thường được gọi là 'bình phương trung bình' (hoặc MS). Trong Phân tích phương sai (ANOVA), bình phương hoặc phương sai trung bình được tính bằng cách chia SS cho df . Như vậy

Các thành phần của phương sai:

Trước khi đi qua các tính toán chi tiết về phương sai, cần phải xem qua hai thành phần của nó:

(a) Phương sai hệ thống, và

(b) Phương sai lỗi.

(a) Phương sai hệ thống:

Phương sai hệ thống, trong một thiết lập thử nghiệm, là một phần của phương sai có thể được quy cho thao tác của biến thực nghiệm tức là biến độc lập.

Ví dụ, một điều tra viên muốn nghiên cứu ảnh hưởng của động lực tức là, phần thưởng bằng lời nói và sự công nhận đối với thành tích học tập của hai nhóm bằng nhau. Anh ta chọn hai nhóm đồng nhất và thao túng phần thưởng bằng lời nói cho một nhóm và công nhận cho một nhóm khác. Sau đó, anh ta quản lý một bài kiểm tra cho cả hai nhóm và có được điểm số của họ.

(Ở đây, 'Động lực' là biến độc lập và 'điểm đạt được' là biến phụ thuộc). Khi phương sai của tất cả các điểm của hai nhóm được tính, nó được gọi là tổng phương sai (V t ). Một phần của tổng phương sai có thể quy cho 'thao túng động lực' chỉ có thể được chỉ định là 'Phương sai hệ thống'. Đây là phương sai giữa các nhóm (hoặc V b ).

(b) Phương sai lỗi:

Bên cạnh tác động của các biến thực nghiệm, còn có các nguồn biến đổi khác do các biến ngoại lai có thể ảnh hưởng đến biến phụ thuộc.

Do đó, phương sai lỗi là một phần của tổng phương sai có thể được quy cho các nguồn biến thể không được kiểm soát khác trong một thử nghiệm.

Kết quả phương sai lỗi từ các nguồn khác nhau viz.:

1. Các nguồn biến thể không được kiểm soát do các biến ngoại lai.

2. Tính biến thiên vốn có trong các đơn vị thí nghiệm.

3. Biến động ngẫu nhiên trong thí nghiệm.

4. Lỗi đo lường do thiếu

(a) Các kỹ thuật thí nghiệm tiêu chuẩn;

(b) Tính thống nhất trong quản trị;

(c) Thực hiện thí nghiệm vật lý;

(d) Trạng thái cảm xúc nhất thời của các đối tượng, v.v.

Phương sai lỗi tượng trưng được biểu thị bằng V e . Trong ví dụ trên, chúng tôi chủ yếu quan tâm đến hai biến số, đó là động lực là biến độc lập và điểm thành tích là biến phụ thuộc.

Bên cạnh hai biến này, điều tra viên gặp phải các biến khác ảnh hưởng đến biến phụ thuộc. Các biến khác như vậy có thể giống như giới tính, mức độ thông minh, tình trạng kinh tế xã hội, tuổi tác, giáo dục, v.v., mà điều tra viên không quan tâm.

Các biến như vậy không được kiểm soát trong một thiết lập thử nghiệm và ảnh hưởng đến sự xuất hiện của biến phụ thuộc được gọi là các biến ngoại lai của Hồi giáo hoặc các biến không liên quan.

Khi các biến này được kiểm soát trong một thử nghiệm, lỗi thử nghiệm có thể được giảm thiểu. Nếu các biến ngoại lai này không được kiểm soát, nó sẽ tạo thành một phần của phương sai lỗi. Chức năng chính của thiết kế thử nghiệm là tối đa hóa phương sai hệ thống, kiểm soát các nguồn phương sai ngoại lai và giảm thiểu phương sai lỗi. Vì vậy, mọi nhà điều tra đều muốn giảm lỗi thử nghiệm.

Để giảm thiểu phương sai lỗi, có thể sử dụng các cách sau:

1. Biến ngoại lai có thể được kiểm soát bởi:

a. Ngẫu nhiên,

b. Loại bỏ,

c. Phù hợp,

d. Bằng cách giới thiệu các biến hoặc biến độc lập bổ sung và

e. Bằng cách kiểm soát thống kê.

2. Lỗi đo lường có thể được kiểm soát bởi :

a. Sử dụng các kỹ thuật thí nghiệm tiêu chuẩn hóa,

b. Sử dụng các dụng cụ đo lường đáng tin cậy,

c. Đảm bảo tính đồng nhất trong quản trị hoặc tiến hành thí nghiệm,

d. Tăng độ tin cậy của phép đo bằng cách đưa ra các hướng dẫn rõ ràng và rõ ràng, v.v.

Thảo luận ở trên xác nhận chúng tôi kết luận rằng tổng phương sai cấu thành hai phần, nghĩa là

V t = V b + V e

Trong đó V t = tổng phương sai

V b = phương sai giữa các nhóm (hoặc phương sai hệ thống)

V e = phương sai lỗi.

Trong ANOVA, phương sai hệ thống được nghiên cứu chống lại phương sai lỗi bằng F-test.

Giá trị F lớn nhất, lớn hơn là xác suất phương sai hệ thống lớn hơn sai số thực nghiệm (trong phương sai nhóm hoặc các biến thể riêng lẻ).

Một ví dụ bằng số có thể phân biệt giữa phương sai hệ thống và phương sai lỗi.

Ví dụ 2:

Một điều tra viên phân công mười sinh viên ngẫu nhiên cho hai nhóm (năm trong mỗi nhóm) và điều khiển hai phương pháp điều trị động lực cho hai nhóm này một cách ngẫu nhiên.

Sau đó, điều tra viên thực hiện một bài kiểm tra và ghi lại điểm của mười học sinh như được nêu dưới đây:

Bây giờ quan sát thấy rằng phương tiện của hai nhóm là khác nhau. Đó là, chúng tôi tìm thấy phương sai giữa các nhóm. Phương sai giữa các nhóm (V b ) có thể được tính như sau. Chúng ta hãy lấy phương tiện 5 và 7 làm hai điểm số và tính toán phương sai của hai điểm số này.

Sau đó, chúng ta sẽ tính tổng phương sai (V t ) bằng cách lấy tất cả mười điểm của cả hai nhóm trong một cột.

V t chứa tất cả các nguồn của sự thay đổi trong điểm số. Trước đó, chúng tôi đã tính V b (hoặc phương sai giữa các nhóm) là 1, 00.

Bây giờ chúng ta hãy tính toán một phương sai khác bằng cách tính riêng phương sai của từng nhóm và sau đó lấy trung bình chúng.

Vì chúng tôi đã tính toán các phương sai một cách riêng biệt và sau đó tính trung bình, nên chúng tôi gọi phương sai này là các nhóm trong nhóm phương sai, hoặc V w .

Trong ví dụ của chúng tôi V w = 3 .8

Vậy 4, 8 (V t ) = 1, 00 (V b ) + 3, 8 (V w )

hoặc V f = V b + V w [Tổng phương sai = giữa phương sai nhóm + phương sai trong nhóm].

Các khái niệm cơ bản gặp phải với ANOVA:

Trước khi đưa ra các vấn đề về số để kiểm tra giả thuyết null bằng cách sử dụng ANOVA, chúng ta nên làm quen với hai khái niệm viz., (A) Sum of Squares (SS) và (b) Mức độ tự do ( df ) mà chúng ta thường gặp trong ANOVA.

(a) Tính toán SS (Tổng bình phương):

Trong ANOVA, chúng tôi tính toán "phương sai giữa các nhóm" (V b ) và "phương sai trong nhóm" (V w ). Chúng tôi tính toán V b và V w như sau:

Trong đó SS b = Tổng bình phương giữa các nhóm

và SS W = Tổng số bình phương trong nhóm.

Chúng tôi so sánh hai phương sai này theo tỷ lệ gọi là F trong đó F = trong đó

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu cách tính tổng bình phương (SS) thông qua hai phương pháp.

Ví dụ 3:

Tính tổng bình phương của phân bố điểm sau.

7, 9, 10, 6, 8

Trung bình = 40/5 = 8

Phương pháp-II (phương pháp ngắn):

SS có thể được tính trực tiếp từ điểm số mà không tính trung bình và độ lệch. Điều này được gọi là phương pháp ngắn và SS được tính bằng cách sử dụng công thức,

Ở đây chúng ta không phải tính giá trị trung bình và độ lệch của điểm cá nhân so với giá trị trung bình. Phương pháp thứ hai được ưa thích khi có số lượng điểm lớn và giá trị trung bình liên quan đến số thập phân.

Do đó, trong ANOVA, tổng bình phương có thể được tính bằng cách sử dụng công thức.

Tính toán giữa các nhóm tổng bình phương (SS b ) và Tổng các nhóm bình phương (SS W )

Có thể sử dụng hai phương pháp sau để tính SS t, SS b và SS w .

Ví dụ 4:

Hai phương pháp điều trị khác nhau được thao tác trên hai nhóm năm đối tượng mỗi.

Và điểm số đạt được như sau:

Đặt giá trị của Grand Grand nghĩa là (nghĩa là trung bình của tất cả mười điểm) được chỉ định là M

Bây giờ M = 35 + 25/10 = 60/10 = 6

Tính toán SS t, SS b và SS w (Phương pháp dài):

Tính toán SS t :

Để tính SS t, chúng ta sẽ phải tìm ra tổng bình phương độ lệch của từng điểm trong số mười điểm trên so với giá trị trung bình (nghĩa là 6)

Tính toán SS b :

Để tính SS b, chúng tôi giả định rằng mỗi mục của nhóm bằng với giá trị trung bình của nhóm và sau đó nghiên cứu phương sai giữa các nhóm khác nhau. Ở đây chúng ta sẽ tính tổng bình phương độ lệch của phương tiện của các nhóm khác nhau từ trung bình lớn.

Giá trị của mỗi mục trong nhóm I được lấy là 7 và giá trị của mỗi mục của nhóm II được lấy là 5 và tổng bình phương của các giá trị này từ giá trị trung bình (M = 6) sẽ được tính.

Chúng ta có thể tính SS b dưới dạng bảng như sau:

Tính toán SS w :

Để tính toán SS W, chúng ta sẽ tìm ra tổng bình phương độ lệch của các điểm khác nhau trong một nhóm so với giá trị trung bình của các nhóm tương ứng.

Tính toán của SS W được trình bày dưới dạng bảng:

Tổng số bình phương hoặc SS W = 10 + 6 = 16

Trong tính toán trên, chúng tôi đã tìm thấy SS t, = 26, SS b, = 10 và SS W = 16

Do đó SS t = SS b + SS w

Tính toán SS t, SS b và SS w (Phương pháp ngắn):

Trong phương pháp ngắn, chúng ta có thể tính SS t SS b và SS W trực tiếp từ điểm số một cách dễ dàng bằng cách sử dụng ba công thức sau đây.

Trong phương pháp ngắn này, chúng ta không phải tính giá trị trung bình và độ lệch. Chúng ta có thể tính toán các phương sai khác nhau trực tiếp từ điểm số. Trong ANOVA, SS t và SS b thường được tính bằng phương pháp ngắn.

Trong khi xử lý các vấn đề trên ANOVA, chúng ta sẽ tính SS và SS t bằng phương pháp ngắn này.

(b) Độ tự do (df):

Mỗi SS trở thành một phương sai khi chia cho mức độ tự do ( df ) được phân bổ cho nó. Trong ANOVA, chúng ta sẽ bắt gặp các bậc tự do ( df ). Số bậc tự do cho mỗi phương sai là một ít hơn V dựa trên nó.

Nếu N = Số điểm trong tất cả và K = số danh mục hoặc nhóm, chúng tôi có trường hợp chung là:

df cho tổng SS = (N - 1)

df cho giữa các nhóm SS = (K - 1)

df cho trong nhóm SS = (N - K)

Cũng thế:

(N - 1) = (N - K) + (K - 1)

Phân tích phương sai (Một chiều):

Riêng chúng tôi đã thảo luận về các thử nghiệm về tầm quan trọng của sự khác biệt giữa các phương tiện. Thông thường kiểm tra t được sử dụng khi chúng tôi muốn xác định xem hai mẫu có nghĩa khác nhau đáng kể hay không.

Khi chúng tôi quan tâm đến các thí nghiệm liên quan đến hai nhóm, chúng tôi có thể kiểm tra xem hai phương tiện có khác nhau đáng kể hay không bằng cách sử dụng thử nghiệm t.

Nhưng kiểm tra t không đầy đủ khi có nhiều hơn hai phương tiện được so sánh. Ví dụ, có bốn phương tiện của bốn nhóm. Để kiểm tra xem bốn phương tiện này có khác biệt đáng kể với nhau hay không, chúng tôi phải thực hiện sáu bài kiểm tra.

Nếu bốn phương tiện là M 1, M 2, M 3, M 4, chúng ta phải so sánh sự khác biệt giữa M 1 và M 2 tức là (M 1 - M 2 ), giữa M 1 và M 3 tức là (M 1 - M 3 ), giữa M 1 và M 4 tức là (M 1 - M 4 ), giữa M 2 và M 3 tức là (M 2 - M 3 ), giữa M 2 và M 4 tức là (M 2 - M 4 ), giữa M 3 và M 4 tức là (M 3 - M 4 ). Tương tự cho 10 có nghĩa là chúng ta phải thực hiện 45 bài kiểm tra.

Đối với K có nghĩa là chúng ta phải thực hiện các bài kiểm tra K (K - 1) / 2 và điều này sẽ liên quan đến việc tính toán và lao động nhiều hơn. Nhưng bằng cách sử dụng F-test thông qua ANOVA, chúng ta có thể đánh giá tầm quan trọng của sự khác biệt của ba hoặc nhiều hơn ba phương tiện cùng một lúc.

Giả định về việc kiểm tra F dựa trên:

Như thường lệ, một quyết định thống kê có vẻ hợp lý đến mức các giả định nhất định đã được thỏa mãn trong dữ liệu được sử dụng.

Trong ANOVA thường có bốn yêu cầu đã nêu:

1. Việc lấy mẫu trong các bộ nên là ngẫu nhiên. Các nhóm điều trị khác nhau được lựa chọn ngẫu nhiên từ dân số.

2. Phương sai từ trong các bộ khác nhau phải xấp xỉ bằng nhau. Điều này đề cập đến giả định về tính đồng nhất của phương sai tức là các nhóm đồng nhất về tính biến thiên.

3. Các quan sát trong các bộ đồng nhất thực nghiệm nên từ dân số phân phối bình thường.

4. Các đóng góp cho tổng phương sai phải là phụ gia.

A. Chúng tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ và xem cách phân tích phương sai khi các nhóm độc lập:

Ví dụ 5:

Trong một thí nghiệm, 16 đối tượng được chỉ định ngẫu nhiên cho hai nhóm 8 đối tượng. Hai nhóm này được điều trị bằng hai phương pháp giảng dạy khác nhau. Kiểm tra tầm quan trọng của sự khác biệt giữa các phương tiện mẫu.

Dung dịch:

Tổng cộng (tức là tổng của tất cả 16 điểm) = 104 hoặc ∑X = 104

Nghĩa trung bình (M) tức là Trung bình của tất cả 16 điểm = ∑X / N = 104/16 = 6, 5

Để tính tỷ lệ F, chúng tôi sẽ phải làm theo các bước được nêu dưới đây:

Bước 1:

Tổng của tất cả 16 điểm là 44 + 60 hoặc 104; và hiệu chỉnh (C) là, theo đó,

Bước 2:

Khi mỗi điểm của cả hai nhóm được bình phương và tính tổng, ∑X 2 sẽ trở thành (∑X 1 2 + ∑X 2 2 = 260 + 460) 720.

Sau đó, hiệu chỉnh 676 được trừ vào tổng số bằng cách sử dụng công thức:

Tổng SS hoặc SS 1 = ∑X 2 - C = 720 - 676 ​​= 44.

hoặc, SS t = 3 2 + 4 2 + 5 2 + số .. + 9 2 - 676 ​​= 44

Bước 3:

Tổng bình phương giữa các phương tiện SS b được tìm thấy bằng cách bình phương tổng của mỗi cột, chia riêng thứ nhất và thứ hai cho 8 và trừ C.

Giữa nhóm SS hoặc SS b

Bước 4:

SS trong (hoặc SS W ) là sự khác biệt giữa SS t và SS b . Do đó SS W = 44 - 16 = 28.

Bước 5:

Vì có tất cả 16 điểm

Giải thích tỷ lệ F:

Tỷ lệ phương sai hoặc F là 16/2 hoặc 8. Df cho giữa các phương tiện là 1 và df cho trong các nhóm là 14. Nhập Bảng F với các df này chúng ta đọc trong cột 1 và hàng 14 rằng mức 0, 05 là 4, 60 và mức 0, 01 là 8, 86. F tính toán của chúng tôi có ý nghĩa ở mức 0, 05.

Nhưng nó không đáng kể ở mức 0, 01. Hay nói cách khác, giá trị quan sát của F lớn hơn giá trị mức 0, 05 nhưng nhỏ hơn giá trị cấp độ 0, 01. Do đó, chúng tôi kết luận rằng sự khác biệt trung bình có ý nghĩa ở mức 0, 05 nhưng không đáng kể ở mức 0, 01 mức ý nghĩa.

Ví dụ 6:

(Khi quy mô của các nhóm không bằng nhau) Một bài kiểm tra Sở thích được thực hiện cho 6 nam sinh trong lớp Dạy nghề và 10 nam trong lớp Latin.

Là sự khác biệt trung bình giữa hai nhóm có ý nghĩa ở mức 0, 05? Kiểm tra tầm quan trọng của sự khác biệt thông qua ANOVA.

Giải thích tỷ lệ F:

Tỷ lệ phương sai hoặc F là 135/33 hoặc 4.09. Df cho giữa các phương tiện là 1 và df cho trong các nhóm là 14. Nhập Bảng F với các df này chúng ta đọc trong cột 1 và hàng 14 rằng mức 0, 05 là 4, 60 và mức 0, 01 là 8, 86. F được tính toán của chúng tôi là 4.09 không hoàn toàn đạt đến mức 0, 05 do đó mức chênh lệch trung bình 6 điểm của chúng tôi phải được coi là không đáng kể. Do đó giả thuyết null được chấp nhận.

Khi chỉ có hai phương tiện để so sánh, như ở đây; F = t 2 hoặc t = = F và hai phép thử (F và t) cho kết quả chính xác như nhau. Cho ví dụ trên F = √4.09 = 2.02. Từ bảng D, chúng tôi thấy rằng trong 14 df, mức ý nghĩa 0, 05 của t này là 2, 14.

2.02 của chúng tôi không hoàn toàn đạt đến mức này và do đó (như F) là không đáng kể.

Ví dụ 7:

(Hơn hai nhóm)

Áp dụng ANOVA để kiểm tra xem phương tiện của bốn nhóm có khác nhau đáng kể hay không:

Vì có 20 điểm trong bốn nhóm:

df cho tổng SS (hoặc SS 1 ) = (N - 1) hoặc 20 - 1 = 19

df cho SS b = (K - 1) hoặc 4 - 1 = 3

df cho SS w = (N - K) hoặc 20 - 4 = 16

F = 33, 33 / 3, 5 = 9, 52

T = FF = 3.08

Giải thích tỷ lệ F:

Tỷ lệ phương sai hoặc F là 9, 52. Df cho giữa các phương tiện là 3 và df cho trong các nhóm là 16. Nhập Bảng F với các df này, chúng ta đọc cột 3 và hàng 16 rằng mức 0, 05 là 3, 24 và mức 0, 01 là 5, 29.

F tính toán của chúng tôi là 9, 52 là hơn 5, 29. Do đó F là đáng kể. Giả thuyết khống bị bác bỏ với một kết luận rằng bốn phương tiện khác nhau đáng kể ở cấp độ 01.

(B) Chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ khác trong việc phân tích phương sai khi cùng một nhóm được đo nhiều lần, tức là trong trường hợp các nhóm tương quan:

Khi một thử nghiệm được đưa ra và sau đó lặp đi lặp lại, phân tích phương sai có thể được sử dụng để xác định xem sự thay đổi trung bình có ý nghĩa hay không (nghĩa là sự khác biệt giữa các phương tiện thu được từ các nhóm tương quan).

Ví dụ 8:

(Đối với các nhóm tương quan)

Năm đối tượng được thực hiện 4 thử nghiệm liên tiếp trong một bài kiểm tra ký hiệu chữ số trong đó chỉ có điểm số cho các thử nghiệm 1 và 4 được hiển thị. Là mức tăng trung bình từ thử nghiệm ban đầu đến thử nghiệm cuối cùng có ý nghĩa.

Các quy trình phân tích phương sai hiện nay khác nhau theo ít nhất hai cách so với các phương pháp được thảo luận ở trên.

Thứ nhất, vì có khả năng tương quan giữa điểm số đạt được của 5 đối tượng trong các thử nghiệm đầu tiên và thứ tư, hai bộ điểm số không nên được coi là mẫu độc lập (ngẫu nhiên).

Thứ hai, phân loại hiện nay theo hai tiêu chí: (a) thử nghiệm và (b) đối tượng.

Do hai tiêu chí này, tổng SS phải được chia thành ba phần:

(a) SS do các thử nghiệm;

(b) SS quy cho các đối tượng; và

(c) Một SS còn lại thường được gọi là tương tác

Các bước trong tính toán của ba phương sai này có thể được tóm tắt như sau:

Bước 1:

Sửa lỗi (C). Như trong quy trình trước, C = (∑X) 2 / N. Trong ví dụ trên C là 90 2/10 hoặc 810.

Bước 2:

Tổng số bình phương. Một lần nữa phép tính lặp lại quy trình được sử dụng trong Ví dụ 1, 2 và 3.

Tổng SS hoặc SS t = 7 2 + 8 2 + 4 2 + 6 2 + 5 2 + 10 2 + 15 2 + 5 2 + 20 2 + 10 2 - C

= 1040 - 810 hoặc 230.

Bước 3:

SS giữa các phương tiện thử nghiệm. Có hai thử nghiệm cho mỗi điểm 5.

Vì thế,

Bước 4:

SS trong số các phương tiện của các đối tượng. Một thứ hai giữa các phương tiện có nghĩa là SS SS được yêu cầu phải quan tâm đến tiêu chí thứ hai của phân loại. Có 5 học sinh / môn học và mỗi môn có hai thử nghiệm. Điểm của các thử nghiệm thứ 1 và thứ 4 của mỗi môn học / học sinh được thêm vào để có được 17, 23, 9, 26, 15.

Vì thế,

Bước 5:

Tương tác SS. Sự thay đổi hoặc tương tác còn lại là bất cứ điều gì còn lại khi các hiệu ứng hệ thống của sự khác biệt thử nghiệm và sự khác biệt về chủ đề đã được loại bỏ khỏi tổng SS.

Tương tác đo lường xu hướng hiệu suất của chủ thể thay đổi cùng với các thử nghiệm: nó đo lường các yếu tố được quy cho cả đối tượng và thử nghiệm không hành động một mình, mà là cả hai cùng hành động.

Tương tác thu được phải đơn giản bằng cách trừ SS thử nghiệm cộng với đối tượng SS khỏi tổng SS.

Như vậy

Tương tác SS = SS t - ( Đối tượng SS + Thử nghiệm SS) = 230 - (90 + 90) = 50.

Bước 6:

Vì có tất cả 10 điểm chúng tôi có (10 - 1) hoặc 9 df cho tổng SS. Hai thử nghiệm nhận được 1 df và 5 đối tượng, 4. 4 df còn lại được chỉ định cho tương tác. Quy tắc là df cho tương tác là sản phẩm của df cho hai biến tương tác, ở đây 1 x 4 = 4. Nói chung, N = tổng số điểm, r = hàng và K = cột.

Giải thích tỷ lệ F:

F cho các thử nghiệm là 7.2. Giá trị tính toán của F cho các thử nghiệm nhỏ hơn 7, 71 mà chúng ta đọc trong Bảng F cho điểm 0, 05 khi df 1 = 1 và df 2 = 4.

Điều này có nghĩa là giả thuyết không liên quan đến các thử nghiệm là có thể thực hiện được và phải được chấp nhận. Bằng chứng mạnh mẽ là không có sự cải thiện đáng kể nào diễn ra từ thử nghiệm 1 đến thử nghiệm 4.

F cho các đối tượng là 1, 8 và nhỏ hơn nhiều so với 0, 05 điểm 6, 39 trong Bảng F cho df 1 = 4 và df 2 = 4. Rõ ràng là các đối tượng không nhất quán tốt hơn các đối tượng khác.

Điều này có nghĩa là giả thuyết khống đối với các đối tượng là có thể thực hiện được và phải được chấp nhận.

Hai chiều ANOVA:

Để dạy khái niệm hình học nhất định nếu các phương pháp giảng dạy khác nhau được áp dụng cho hai hoặc nhiều hơn hai nhóm sinh viên, chúng tôi gọi đó là một biến thực nghiệm.

Trong ANOVA một chiều, chỉ có một yếu tố (nghĩa là một biến độc lập) được nghiên cứu. Ví dụ, khi chúng tôi muốn kiểm tra xem các phương pháp giảng dạy có ảnh hưởng gì đến thành tích hay không, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của một biến độc lập (nghĩa là phương pháp giảng dạy) đối với biến phụ thuộc (tức là thành tích).

Các bộ dữ liệu được phân biệt trên cơ sở chỉ có một biến thể thử nghiệm. Chỉ có một nguyên tắc phân loại, một lý do để phân tách dữ liệu thành các bộ.

Đối với điều này, chúng ta chọn ngẫu nhiên ba nhóm và chỉ định ba phương pháp điều trị khác nhau, phương pháp-1, phương pháp-2 và phương pháp-3 ngẫu nhiên cho ba nhóm này.

Cuối cùng, điểm thành tích của các môn học của ba nhóm khác nhau có thể đạt được thông qua một bài kiểm tra thích hợp.

Sau đó, bằng cách sử dụng ANOVA, chúng tôi có thể kiểm tra xem phương tiện của ba nhóm này có khác nhau đáng kể hay không.

Trong phân loại hai chiều hoặc ANOVA hai chiều, có hai cơ sở phân loại riêng biệt. Hai điều kiện thí nghiệm được phép thay đổi từ nhóm này sang nhóm khác. Trong các phòng thí nghiệm tâm lý, các dải hạ cánh sân bay nhân tạo khác nhau, mỗi dải có một kiểu đánh dấu khác nhau, có thể được xem qua màn hình khuếch tán để kích thích tầm nhìn qua sương mù ở các mức độ khác nhau.

Trong một vấn đề giáo dục, bốn phương pháp giảng dạy một khái niệm hình học nhất định có thể được áp dụng bởi năm giáo viên khác nhau, mỗi phương pháp sử dụng một trong bốn phương pháp. Do đó, sẽ có 20 kết hợp của giáo viên và phương pháp.

Bảng sau có thể đi trước bạn hơn nữa:

Trong một ví dụ được trích dẫn dưới đây, các tác động của ba phương pháp giảng dạy đối với điểm thành tích được nghiên cứu. Nhưng dự kiến ​​các phương pháp giảng dạy sẽ có hiệu quả khác nhau tùy thuộc vào mức độ tình trạng kinh tế xã hội (SES) của các đối tượng.

Vì vậy, chúng ta có thể thiết kế một nghiên cứu trong đó tác động của hai biến tức là hiệu quả của các phương pháp giảng dạy và ảnh hưởng của các cấp độ của tình trạng kinh tế xã hội (SES) có thể được nghiên cứu đồng thời. Trong thiết kế này chúng ta cũng có thể nghiên cứu hiệu ứng tương tác. Đối với các thiết kế như vậy, các kỹ thuật của ANOVA hai chiều được sử dụng.

Ví dụ 9:

Sáu nhóm sinh viên (mỗi nhóm năm sinh viên), đã được chọn ngẫu nhiên trong sáu điều kiện điều trị. Nghiên cứu ảnh hưởng của hai yếu tố viz., Yếu tố A (tình trạng kinh tế xã hội) và yếu tố B (phương pháp giảng dạy) cho ví dụ sau.

Dung dịch:

Trong ví dụ trên, chúng tôi đã thực hiện hai cấp độ SES viz., SES cao trong loại A 1 và SES thấp trong loại A 2 và ba phương pháp hướng dẫn viz., B 1 (bài giảng), B 2 (thảo luận) và B 3 ( cách chơi).

Tổng số phương pháp điều trị trong thí nghiệm sẽ là 2 x 3 = 6. Ở đây n = 5 và tổng số quan sát là N = 5 x 6 = 30.

Tổng cộng, ∑X = 30 + 50 + 40 + 25 + 45 + 35 = 225.

Sáu nhóm điều trị khác nhau có thể được trình bày trong 'Bảng tương tác', như được đưa ra dưới đây:

Đối với ba phương pháp hướng dẫn, có ba cột (.. C = 3). Tổng số hàng được sử dụng để tính SS cho A (SES). Tổng số cột được sử dụng để tính SS cho B (phương pháp hướng dẫn).

Các bước trong tính toán phương sai có thể được tóm tắt như sau:

Bước 1:

Bước 2:

Tổng SS hoặc SS t = ∑X 2 - C. Ở đây tất cả ba mươi điểm được bình phương và cộng và C bị trừ.

SS t = 5 2 + 7 2 + Điêu + 10 2 + 7 2 - 1687.5 = 1919 - 1687.5 = 231.5

Bước 3:

Giữa nhóm SS hoặc SS b = Tổng số (∑X) 2 / n cho tất cả sáu điều kiện điều trị - C.

Bước 4:

Trong nhóm SS hoặc SS W = SS t - SS b = 231, 5 - 87, 5 = 144

Bước 5:

Bây giờ, giữa nhóm SS, nhóm SS hoặc SS b của 87, 5 có thể được chia thành ba phần viz., SS A, SS B và SS AB tức là SS b = SS A + SS B + SS AB

Trong đó SS A = SS của yếu tố A (SES) tạo ra từ độ lệch của A 1 và A 2 có nghĩa là từ giá trị trung bình của tổng điểm.

SS B = SS của yếu tố B (phương pháp) được tạo ra từ độ lệch của B 1, B 2 và B 3 có nghĩa là từ giá trị trung bình của tổng điểm.

Bước 6:

Độ tự do cho SS khác nhau

Trong vấn đề của chúng tôi, chúng tôi có 6 nhóm

.˙. K = 6

n = 5 và N = 6 xn = 6 x 5 = 30.

Trong bảng tương tác có hai hàng và ba cột

.˙. r = 2 và C = 3.

Phân vùng của df có thể được thực hiện như sau:

df cho SS t = N - 1 = 30 - 1 hoặc 29

df cho SS b = K - 1 = 6 - 1 hoặc 5

df cho SS W = K (n - 1) = 6 x 4 hoặc 24

Con cáo df SS b, có thể được phân chia thành ba phần:

(i) df cho SSA = r - 1 = 2 - 1 hoặc 1

(ii) df cho SSB = c - 1 = 3 - 1 hoặc 2

(iii) df cho SS AB = (r - 1) (C - 1) = 1 x 2 hoặc 2

Bây giờ chúng ta có thể nhập phép tính ở trên vào bảng Tóm tắt ANOVA hai chiều:

Giải thích tỷ lệ F:

(a) F cho SES hoặc F cho A

F = MS A / MS W = 7.5 / 6.0 = 1.25

(.052 nhỏ hơn một)

Khi F là 1, 25 <4, 26 ở mức 0, 05, chúng tôi vẫn giữ giả thuyết khống rằng hai nhóm được chọn ngẫu nhiên không khác nhau về điểm thành tích trên cơ sở tình trạng kinh tế xã hội.

Vì F là 6, 67> 5, 6 ở mức 0, 01, chúng tôi bác bỏ giả thuyết khống. Chúng tôi kết luận rằng ba phương pháp giảng dạy ảnh hưởng đến điểm thành tích khác nhau.

Khi F là 0, 00 <1, chúng tôi giữ nguyên giả thuyết khống. Chúng tôi chấp nhận giả thuyết không có tương tác. Chúng tôi kết luận rằng hiệu quả của các phương pháp không phụ thuộc vào mức độ của tình trạng kinh tế xã hội.